Question

如图，平面直角坐标系中，已知P（1，1），A为y轴的负半轴上一点，B为x轴的正半轴上一点，PA=PB．
（1）求证：∠OAP=∠OBP；
（2）若A（0，-2），求B点坐标；
（3）当A点在y轴的负半轴上运动时，OA-OB的值是否发生变化？说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）过P分别作两x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则可证明Rt△PDA≌Rt△PCB，则可得∠OAP=∠OBP；
（2）由（1）可知BC=DA，且可求得AD=1+2=3，所以BC=3，所以OB=OC+BC=1+3=4，所以可求得B点坐标；
（3）因为Rt△PDA≌Rt△PCB，所以BC=DA，所以OA-OB=AD-OD-（OC+BC）=AD-OD-OC-BC=-OD-OC=-2，所以不变．

解答：（1）证明：过P分别作两x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则C（1，0），D（0，1）

∵P点坐标为（1，1），
∴PC=PD，
在Rt△PDA和Rt△PCB中

PD=PC PA=PB

∴Rt△PDA≌Rt△PCB（HL），
∴∠OAP=∠OBP；
（2）解：∵A点坐标为（0，-2），所以AO=2，且OC=OD=1，
∴AD=AO+OD=2+1=3，
由（1）知Rt△PDA≌Rt△PCB，
∴BC=AD=3，
∴OB=OC+BC=1+3=4，
∴B点的坐标为（4，0）；
（3）解：不发生变化，理由如下：
∵Rt△PDA≌Rt△PCB，
∴BC=DA，
∴OA-OB=AD-OD-（OC+BC）=AD-OD-OC-BC=-OD-OC=-2，
∴OA-OB的值不发生变化．

点评：本题主要考查直角三角形全等的判定和性质的运用，解题的关键是利用点的坐标求得线段的长．