Question

如图（1），在等腰直角△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB上任一点，连接CD，沿直线CD翻折△ADC到△FDC，作∠BCF的角平分线CE，交AB于E．
（1）猜想线段AD、DE和EB之间的数量关系，并说明理由．
（2）若D点在线段AB上运动（A、B点除外），你的结论是否依然成立？并用图（2）加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）求出△FCE≌△BCE，推出EF=BE，∠3=∠4，求出∠5+∠3=90°，根据勾股定理得出DF²+EF²=DE²即可；
（2）求出三角形DEF是直角三角形，根据勾股定理求出即可．

解答：解：（1）∵CE为平分线，
∴∠1=∠2，
∵沿直线CD翻折△ADC到△FDC，
∴AD=DF，AC=FC，∠5=∠6，
∵AC=BC，
∴FC=BC，
在△FCE和△BCE中

CF=CB ∠1=∠2 CE=EC

∴△FCE≌△BCE（SAS），
∴EF=BE，∠3=∠4，
∵∠6+∠4=90°，
∴∠5+∠3=90°，
∴DF²+EF²=DE²，
∵AD=DF，EF=BE，
∴AD²+BE²=DE²；
（2）成立，
证明：连接EF，
由（1）可得△CFE≌△CBE，
∴∠CFE=∠2，EF=BE，
∵AD=DF，∠A=∠1=45°，
∴∠2=135°，
∴∠CFE=135°，
∴∠DFE=135°-45°=90°，
∴△DFE是直角三角形，
∴DF²+EF²=DE²，
∵EF=BE，DF=AD，
∴AD²+BE²=DE²．

点评：本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出三角形DEF是直角三角形．