Question

如图，点P是平行四边形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：
①S₁+S₃=S₂+S₄；②若S₃=S₁，则S₄=3S₂；③若S₁=S₄，则S₂=2S₃；④若S₁-S₂=S₃-S₄，能判断P点一定在对角线BD上的正确结论的序号是

 

（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：分别设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的AB、BC、CD、AD边上的高为h、l、m、n，可分别表示出其面积，再结合平行四边形的性质依次判断即可．

解答：解：分别设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的AB、BC、CD、AD边上的高为h、l、m、n，设四边形ABCD的AB边上的高为o，BC边上的高为p，
则h+m=o，l+n=p，
∴S₁=

1

2

AB•h，S₂=

1

2

BC•l，S₃=

1

2

CD•m，S₄=

1

2

DA•n，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，BC=DA，且S_{四边形ABCD}=AB•o=BC•p
∴S₁+S₃=S₁=

1

2

AB•h+

1

2

CD•m=

1

2

AB•o，S₂+S₄=S₁=

1

2

BC•l+

1

2

DA•n=

1

2

BC•p，
∴S₁+S₃=S₂+S₄，
故①正确；
若S₃=S₁，即

1

2

AB•h=

1

2

CD•m，且AB=CD，
∴h=m，即P点在o的中点，但在p的位置是不确定的，
∴S₄=3S₂不一定成立，
故②不正确；
当S₁=S₄时，由①可知S₁+S₃=S₂+S₄，
∴S₃=S₂，
故③不正确；
当S₁-S₂=S₃-S₄（1），且S₁+S₃=S₂+S₄（2），
（1）+（2）可得S₁=S₂，（1）-（2）可得S₃=S₄，
∴点P在BD上，
故④正确；
故答案为：①④．

点评：本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形?平行四边形，②两组对边分别相等的四边形?平行四边形，③一组对边分别平行且相等的四边形?平行四边形，④两组对角分别相等的四边形?平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形?平行四边形．