Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P、Q 是反比例函数（x>0）图象上的两点，过点 P、Q 分别作直线且与 x、y 轴分别交于点 A、B和点 M、N．已知点 P 为线段 AB 的中点．

(1)求△AOB 的面积（结果用含 a 的代数式表示）；

(2)当点 Q 为线段 MN 的中点时，小菲同学连结 AN，MB 后发现此时直线 AN 与直线MB 平行，问小菲同学发现的结论正确吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）S=2a+2；（2）正确，理由见解析

【解析】

（1）过点P作PP⊥x轴，PP ⊥y轴，由P为线段AB的中点，可知PP，PP是△AOB的中位线，故OA=2PP，OB=2PP，再由点P是反比例函数y=（x>0）图象上的点，可知S = OA×OB=×2PP×2PP=2PP×PP=2a+2；

（2）由点Q为线段MN的中点，可知同（1）可得S=S =2a+2，故可得出OAOB=OMON，即 ，由相似三角形的判定定理可知△AON∽△MOB，故∠OAN=∠OMB，由此即可得出结论．

(1)过点P作PP⊥x轴,PP⊥y轴，

∵P为线段AB的中点，

∴PP，PP是△AOB的中位线，

∴OA=2PP,OB=2PP，

∵点P是反比例函数y= (x>0)图象上的点，

∴S =OA×OB=×2PP×2PP=2PP×PP=2a+2；

(2)结论正确.

理由：∵点Q为线段MN的中点，

∴同(1)可得S=S =2a+2，

∴OAOB=OMON，

∴，

∵∠AON=∠MOB，

∴△AON∽△MOB，

∴∠OAN=∠OMB，

∴AN∥MB.