【题目】在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C(0,1),点D为x轴正半轴上的一个动点,点E为第一象限内一点,且CE⊥CD,CE=CD.
(1)试说明:∠EBC=∠CAB ;
(2)取DE的中点F,连接OF,试判断OF与AC的位置关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,试探索O、D、F三点能否构成等腰三角形,若能,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)OF∥AC;(3)D(1,0)或D(1+,0)
【解析】
(1)易证△AOC,△BOC均为等腰直角三角形,且∠ACD=∠ECB,从而得到
△ACD≌△BCE,由全等三角形对应角相等即可得出结论;
(2)作FL⊥OC ,FK⊥OB,易证∠CFL=∠KFD,CF=DF=DE,得到△CFL≌△DFK,由全等三角形对应边相等得到FL=FK,由角平分线判定定理得到OF平分∠COB,从而得到∠COF=∠BOF=45°,即可得到OF∥AC.
(3)设D(x,0)(x>0).则OD=x,过E作EG⊥y轴于G,则△EGC≌△COD,得到E的坐标,由中点坐标公式得到F的坐标,由两点间距离公式得到OF,DF的长.然后分三种情况讨论:①OD=OF,②OD=FD,③OF=FD.
(1)∵A(-1,0),B(1,0),C(0,1),∴AO=CO=BO=1.
∵CO⊥AB,∴AC=BC,△AOC,△BOC均为等腰直角三角形,∴∠CBO=∠BCO=∠ACO=∠CAO =45°,∠ACB=90°,即∠ACD+∠BCD =90°.
又∵CE⊥CD,∴∠ECB+∠BCD =90°,∴∠ACD=∠ECB.
在△ACD与△BCE中,∵,∴△ACD≌△BCE,∴∠EBC=∠CAB.
(2)OF∥AC.理由如下:
作FL⊥OC ,FK⊥OB,如图,∵CO⊥BO,∴∠LFK =90°,
∵CE=CD,点F是DE的中点,∴CF⊥DE,∴∠CFL+∠LFD =90°.
又∵∠KFD+∠LFD =90°,∴∠CFL=∠KFD.
∵CE⊥CD,点F是DE的中点,∴CF=DF=DE.
在△CFL与△DFK中,∵,∴△CFL≌△DFK,∴FL=FK.
又∵FL⊥OC ,FK⊥OB,∴OF平分∠COB,∴∠COF=∠BOF=45°.
又∵∠CAO =45°,∠BOF=∠CAO,∴OF∥AC.
(3)设D(x,0)(x>0).则OD=x,过E作EG⊥y轴于G.
∵CE⊥CD,∴∠ECD=90°,∴∠GCE+∠DCO=90°.
∵∠GCE+∠GEC=90°,∴∠GEC=∠OCD.
∵∠EGC=∠COD=90°,CE=CD,∴△EGC≌△COD,∴GE=OC=1,CG=OD=x,∴E(1,x+1).
∵F为ED的中点,∴F(,
),∴OF=
=
,DF=
=
.
△ODF为等腰三角形,分三种情况讨论:
①OD=OF,则x=,解得:x=
,∴D(
,0);
②OD=FD,则x=,解得:x=±1(负数舍去),∴x=1,∴D(1,0);
③OF=FD,则=
,解得:x=0(舍去),∴此种情况不成立.
综上所述:D(1,0)或D(,0).
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【题目】如图是一副秋千架,左图是从正面看,当秋千绳子自然下垂时,踏板离地面0.5m(踏板厚度忽略不计), 右图是从侧面看,当秋千踏板荡起至点B位置时,点B离地面垂直高度BC为1m,离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m(不考虑支柱的直径).求秋千支柱AD的高.
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【题目】已知:如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是CD的中点,过点C作CF∥AB叫AE的延长线于点F.
(1)求证:△ADE≌△FCE;
(2)若∠DCF=120°,DE=2,求BC的长.
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【题目】中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注,为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的,分为四种类型:A接听电话;B收发短信;C查阅资料;D游戏聊天.并将调查结果绘制成图1和图2的统计图(不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了 名学生.
(2)将图1、图2补充完整;
(3)现有4名学生,其中A类两名,B类两名,从中任选2名学生,求这两名学生为同一类型的概率(用列表法或树状图法).
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【题目】在△ABC中,AB=13,AC=5,BC边上的中线AD=6,点E在AD的延长线上,且AD=DE.
(1)试判断△ABE的形状并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】张华在一次数学活动中,利用“在面积一定的矩形中,正方形的周长最短”的结论,推导出“式子x+ (x>0)的最小值是2”.其推导方法如下:在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x,则另一边长是
,矩形的周长是2(x+
);当矩形成为正方形时,就有x=
(x>0),解得x=1,这时矩形的周长2(x+
)=4最小,因此x+
(x>0)的最小值是2.模仿张华的推导,你求得式子
(x>0)的最小值是( )
A.2
B.1
C.6
D.10
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【题目】学习成为现代人的时尚,某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况,并做了下列两个不完整的统计图.
(1)在统计的这段时间内,共有万人次到图书馆阅读,其中商人占百分比为%;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若5月份到图书馆的读者共28000人次,估计其中约有多少人次读者是职工?
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【题目】二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1, );点F(0,1)在y轴上.直线y=﹣1与y轴交于点H.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:FM平分∠OFP;
(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.
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【题目】如图(1),在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于C(0,3),顶点为D(1,4),对称轴为DE.
(1)抛物线的解析式是;
(2)如图(2),点P是AD上一个动点,P′是P关于DE的对称点,连接PE,过P′作P′F∥PE交x轴于F.设S四边形EPP′F=y,EF=x,求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q,使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形?若存在,求出Q的坐标;若不存在.请说明理由.
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