【题目】如图(1),在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于C(0,3),顶点为D(1,4),对称轴为DE.
(1)抛物线的解析式是;
(2)如图(2),点P是AD上一个动点,P′是P关于DE的对称点,连接PE,过P′作P′F∥PE交x轴于F.设S四边形EPP′F=y,EF=x,求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q,使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形?若存在,求出Q的坐标;若不存在.请说明理由.
【答案】
(1)y=﹣x2+2x+3
(2)
解:令PP′交DE于G,
∵PP′∥AF,PE∥FP′,
∴四边形FEP′P是平行四边形,
∴PP′=EF,
∴△DPP′∽△DAB,
∴ ,
又∵A(﹣1,0)、B(3,0)、D(1,4),EF=x,
∴AB=4,DE=4,PP′=x,
∴
∴GE=4﹣x,
又∵S四边形EPP'F=EFGE,
∴y=x(4﹣x)
∴y=x(4﹣x)=﹣(x﹣2)2+4,x=2时,y的最大值是4
(3)
解:假设存在满足条件的点Q(x,y),
作OH⊥BC于H,
∵Rt△BCQ中BC是直角边,
∴Rt△BCQ的另一直角边与OH平行.
又∵OC=OB,CO⊥OB,OB=3,OC=3,
∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线可以由直线OH向上或向右平移3个单位得到(如图).
由已知得直线OH的解析式是y=x,
∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线解析式是:y=x+3或 y=x﹣3
点Q为直线y=x+3和抛物线交点,
则 ,
解得:x=1,
∴y=4;
②点Q为直线y=x﹣3和抛物线交点,
则 ,
解得:x=﹣2,
∴y=﹣5,
∴存在满足条件的点Q的坐标是:(1,4)和(﹣2,﹣5)
【解析】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点C,
则c=3,
∵抛物线经过A,B两点,∴
解得:a=﹣1,b=2,
所以答案是 y=﹣x2+2x+3;
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C(0,1),点D为x轴正半轴上的一个动点,点E为第一象限内一点,且CE⊥CD,CE=CD.
(1)试说明:∠EBC=∠CAB ;
(2)取DE的中点F,连接OF,试判断OF与AC的位置关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,试探索O、D、F三点能否构成等腰三角形,若能,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,D是BC的中点.
(1)作图: ①过B作AC的平行线BH;
②过D作BH的垂线,分别交AC,BH,AB的延长线于E,F,G.
(2)在图中找出一对全等的三角形,并证明你的结论.
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【题目】如图,△ABC与△CED均为等边三角形,且B,C,D三点共线.线段BE,AD相交于点O,AF⊥BE于点F.若OF=1,则AF的长为( )
A. 1 B. C. D. 2
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,D是BC的中点.
(1)作图: ①过B作AC的平行线BH;
②过D作BH的垂线,分别交AC,BH,AB的延长线于E,F,G.
(2)在图中找出一对全等的三角形,并证明你的结论.
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【题目】如图1,在等腰梯形ABCD中,∠B=60°,P、Q同时从B出发,以每秒1个单位长度分别沿B→A→D→C和B→C→D方向运动至相遇时停止.设运动时间为t(秒),△BPQ的面积为S(平方单位),S与t的函数图象如图2,则下列结论错误的是( )
A.当t=4秒时,S=4
B.AD=4
C.当4≤t≤8时,S=2 t
D.当t=9秒时,BP平分梯形ABCD的面积
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【题目】如图,在△ABC中,点P是BC上一点,PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别为点R、S,PR=PS,点Q是AC上一点,且AQ=PQ,
(1)求证:QP∥AR;
(2)AR、AS相等吗?说明理由.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(﹣2,0)、B两点,与y轴交于C点,其对称轴为直线x=1.
(1)直接写出抛物线的解析式:;
(2)把线段AC沿x轴向右平移,设平移后A、C的对应点分别为A′、C′,当C′落在抛物线上时,求A′、C′的坐标;
(3)除(2)中的点A′、C′外,在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F,使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点C(0,2),且与反比例函数y=﹣ 的图象在第二象限内交于点B,过点B作BD⊥x轴于点D,OD=2.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若点P是线段BD上一点,且△PBC的面积等于3,求点P的坐标.
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