Question

如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n，分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=

1

x

的图象相交于点P₁，P₂，P₃，P₄，…P_n，再分别过P₂，P₃，P₄，…P_n作P₂B₁⊥A₁P₁，P₃B₂⊥A₂P₂，P₄B₃⊥A₃P₃，…，P_nB_n-1⊥A_n-1P_n-1，垂足分别为B₁，B₂，B₃，B₄，…，B_n-1，连接P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_n-1P_n，得到一组Rt△P₁B₁P₂，Rt△P₂B₂P₃，Rt△P₃B₃P₄，…，Rt△P_n-1B_n-1P_n，则Rt△P_n-1B_n-1P_n的面积为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义

专题：压轴题,规律型

分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到Rt△P₁B₁P₂的面积=

1

2

×a×（

1

a

-

1

2a

），Rt△P₂B₂P₃的面积=

1

2

×a×（

1

2a

-

1

3a

），Rt△P₃B₃P₄的面积=

1

2

×a×（

1

3a

-

1

4a

），由此得出△P_n-1B_n-1P_n的面积=

1

2

×a×[

1

(n-1)a

-

1

na

]，化简即可．

解答：解：设OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-2A_n-1=a，
∵x=a时，y=

1

a

，∴P₁的坐标为（a，

1

a

），
∵x=2a时，y=2×

1

a

，∴P₂的坐标为（2a，

1

2a

），
∴Rt△P₁B₁P₂的面积=

1

2

×a×（

1

a

-

1

2a

），
Rt△P₂B₂P₃的面积=

1

2

×a×（

1

2a

-

1

3a

），
Rt△P₃B₃P₄的面积=

1

2

×a×（

1

3a

-

1

4a

），
…，
∴△P_n-1B_n-1P_n的面积=

1

2

×a×[

1

(n-1)a

-

1

na

]=

1

2

×1×（

1

n-1

-

1

n

）=

1

2n(n-1)

．
故答案为：

1

2n(n-1)

．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式，有一定难度．