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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B坐标分别为(4,2)、(0,2),线段CD在于x轴上,CD=,点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移,点D随着点C同时同速同方向运动,过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G,连结CE交OA于点F.设运动时间为t,当E点到达A点时,停止所有运动.

(1)求线段CE的长;

(2)记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积,试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围;

(3)连结DF,

当t取何值时,有?

直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.

【答案】(1)线段CE的长为

(2)S=﹣t)2,t的取值范围为:0≤t≤

(3)当t=时,DF=CD;ΔCDF的外接圆与OA相切时t=

【解析】

试题(1)直接根据勾股定理求出CE的长即可;

(2)作FHCD于H.,由ABOD,DEOD,OBOD可知四边形ODEB是矩形,故可用t表示出AE及BE的长,由相似三角形的判定定理可得出OCF∽△AEF,ODG∽△AEG,由相似三角形的性质可用t表示出CF及EG的长,FHED可求出HD的长,由三角形的面积公式可求出S与t的关系式;

(3)由(2)知CF=t,当DF=CD时,作DKCF于K,则CK=CF=t,CK=CDcosDCE,由此可得出t的值;

先根据勾股定理求出OA的长,由(2)知HD=(5﹣t),由相似三角形的判定定理得出RtAOBRtOFH,可用t表示出OF的长,因为当CDF的外接圆与OA相切时,则OF为切线,OD为割线,由切割线定理可知OF2=OCOD,故可得出结论

试题解析:(1)在RtCDE中,CD=,DE=2,

CE=

(2)如图1,作FHCD于H.

ABOD,DEOD,OBOD,

四边形ODEB是矩形,

BE=OD,

OC=t,

BE=OD=OC+CD=t+

AE=AB﹣BE=4﹣(t+)=﹣t,

ABOD,

∴△OCF∽△AEF,ODG∽△AEG,

CF+EF=5,DG+EG=4,

CF=t,EG=

EF=CE﹣CF=5﹣t,

FHED,

,即HD=CD=﹣t),

S=EGHD=××﹣t)=﹣t)2

t的取值范围为:0≤t≤

(3)由(2)知CF=t,

如图2,当DF=CD时,如图作DKCF于K,

则CK=CF=t,

CK=CDcosDCE,

t=3×

解得:t=

当t=时,DF=CD;

②∵点A,B坐标分别为(8,4),(0,4),

AB=8,OB=4,

OA==4

由(2)知HD=(5﹣t),

OH=t+3﹣(5﹣t)=

∵∠A+AOB=AOD+AOB=90°,

∴∠A=AOD,

RtAOBRtOFH,

解得OF=

CDF的外接圆与OA相切时,则OF为切线,OD为割线,

OF2=OCOD,即(2=t(t+3),得t=

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