【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=36°,点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合),连接AD,作∠ADE=36°,DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA=128°时,∠EDC= ,∠AED= ;
(2)线段DC的长度为何值时,△ABD≌△DCE?请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由.
【答案】(1)16°;52°;(2)当DC=2时,△ABD≌△DCE,理由见解析;(3)当∠BDA的度数为108°或72°时,△ADE的形状是等腰三角形.
【解析】
(1)根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质,得到答案;
(2)当DC=2时,利用∠DEC+∠EDC=144°,∠ADB+∠EDC=144°,得到∠ADB=∠DEC,根据AB=DC=2,证明△ABD≌△DCE;
(3)分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算.
(1)∵AB=AC,∴∠C=∠B=36°.
∵∠ADE=36°,∠BDA=128°.
∵∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=16°,
∴∠AED=∠EDC+∠C=16°+36°=52°.
故答案为:16°;52°;
(2)当DC=2时,△ABD≌△DCE,
理由:∵AB=2,DC=2,
∴AB=DC.
∵∠C=36°,
∴∠DEC+∠EDC=144°.
∵∠ADE=36°,
∴∠ADB+∠EDC=144°,
∴∠ADB=∠DEC,
在△ABD和△DCE中,
,
∴△ABD≌△DCE(AAS);
(3)当∠BDA的度数为108°或72°时,△ADE的形状是等腰三角形,
①当DA=DE时,∠DAE=∠DEA=72°,
∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=108°;
②当AD=AE时,∠AED=∠ADE=36°,
∴∠DAE=108°,
此时,点D与点B重合,不合题意;
③当EA=ED时,∠EAD=∠ADE=36°,
∴∠BDA=∠EAD+∠C=36°+36°=72°;
综上所述:当∠BDA的度数为108°或72°时,△ADE的形状是等腰三角形.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=60°,BD平分∠ADC.
(1)试说明△ABC是等边三角形;
(2)若AD=2,DC=4,求四边形ABCD的面积.
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【题目】如图所示,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线.
(1)画出与△ACD 关于点 D 成中心对称的三角形;
(2)找出与 AC 相等的线段;
(3)探索:△ABC 中,AB+AC 与中线 AD 之间的关系,并说明理由.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,OD⊥弦BC于点D,交⊙O于点E,AE与BC交于点F,点H为OD延长线上一点,且∠OHB=∠AEC.
(1)求证:BH是⊙O的切线;
(2)求证:CE2=EF·EA;
(3)若⊙O的半径为5,sin∠C=,求BF的长.
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【题目】在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在正方形网格的格点(网格线的交点)上.
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系,使点A坐标为(1,3)点B坐标为(2,1);
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C',并写出点C'的坐标;
(3)判断△ABC的形状.并说明理由.
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【题目】如图,将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中,使得OA与y轴重合,OC与x轴重合,点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合).将正方形纸片折叠,使点O落在P处,点C落在G处,PG交BC于H,折痕为EF.连接OP、OH.
初步探究
(1)当AP=4时
①直接写出点E的坐标 ;
②求直线EF的函数表达式.
深入探究
(2)当点P在边AB上移动时,∠APO与∠OPH的度数总是相等,请说明理由.
拓展应用
(3)当点P在边AB上移动时,△PBH的周长是否发生变化?并证明你的结论.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,点G在边DC的延长线上,AG交边BC于点E,交对角线BD于点F.
(1)求证:AF2=EFFG;
(2)如果EF=,FG=,求的值.
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【题目】(阅读材科)小明同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,
如果具有公共的项角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形,小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小明发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则△ABD≌△ACE.
(材料理解)(1)在图1中证明小明的发现.
(深入探究)(2)如图2,△ABC和△AED是等边三角形,连接BD,EC交于点O,连接AO,下列结论:①BD=EC;②∠BOC=60°;③∠AOE=60°;④EO=CO,其中正确的有 .(将所有正确的序号填在横线上).
(延伸应用)(3)如图3,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,试探究∠A与∠C的数量关系.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B坐标分别为(4,2)、(0,2),线段CD在于x轴上,CD=,点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移,点D随着点C同时同速同方向运动,过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G,连结CE交OA于点F.设运动时间为t,当E点到达A点时,停止所有运动.
(1)求线段CE的长;
(2)记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积,试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围;
(3)连结DF,
①当t取何值时,有?
②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.
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