Question

【题目】如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．

初步探究

（1）当AP=4时

①直接写出点E的坐标　　　　；

②求直线EF的函数表达式．

深入探究

（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．

拓展应用

（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）①(0，5)；②；（2）理由见解析；（3）周长=16，不会发生变化，证明见解析．

【解析】

（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即可求解；

②证明△AOP≌△FRE（AAS），则ER＝AP＝4，故点F（8，1），即可求解；

（2）∠EOP＝∠EPO，而∠EPH＝∠EOC＝90°，故∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP，即∠POC＝∠OPH，又因为AB∥OC，故∠APO＝∠POC，即可求解；

（3）证明△AOP≌△QOP（AAS）、△OCH≌△OQH（SAS），则CH＝QH，即可求解．

（1）①设：OE=PE=a，则AE=8﹣a，AP=4，

在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，

即a2=(8﹣a)2+16，解得：a=5，

故点E(0，5)．

故答案为：(0，5)；

②过点F作FR⊥y轴于点R，

折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，

∴∠EFR+∠FER=90°，而∠FER+∠AOP=90°，

∴∠AOP=∠EFR，

而∠OAP=∠FRE，RF=AO，

∴△AOP≌△FRE(AAS)，

∴ER=AP=4，

OR=EO﹣OR=5﹣4=1，故点F(8，1)，

将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b

得：，解得：，

故直线EF的表达式为：y=﹣x+5；

（2）∵PE=OE，

∴∠EOP=∠EPO．

又∵∠EPH=∠EOC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP．

即∠POC=∠OPH．

又∵AB∥OC，

∴∠APO=∠POC，

∴∠APO=∠OPH；

（3）如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APO=∠OPH，

在△AOP和△QOP中，

∴△AOP≌△QOP(AAS)，

∴AP=QP，AO=OQ．

又∵AO=OC，

∴OC=OQ．

又∵∠C=∠OQH=90°，OH=OH，

∴△OCH≌△OQH(SAS)，

∴CH=QH，

∴△PHB的周长=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16．

故答案为：16．