Question

5．如图，直线BC交x轴、y轴于点B（3，0）和C（0，3），且抛物线y=-x²+bx+c过B、C两点，与x轴交于另一点A．
（1）求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设P（x，y）是（1）中抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内，线段PN的长度为h，试求h与x的函数解析式．h是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由；
②当△PBC是以BC为底边的等腰三角形时，则点P的坐标为（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．（直接写出坐标，不要求写解答过程）

Answer 1

分析 （1）根据点B、C的坐标求出直线BC的解析式，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可；
（2）①根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、N的坐标，然后用含有m的式子表示出PN，整理并根据二次函数的最值问题解答；
②根据等腰三角形三线合一的性质可知点P在BC的垂直平分线上，再根据点B、C的坐标可知BC的垂直平分线也是∠BOC的平分线，然后根据点P的横坐标与纵坐标相等即可得出答案．

解答 解：（1）∵直线BC交x轴、y轴于点B（3，0）和C（0，3），
∴设直线解析式为：y=kx+e，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+e=0}\\{e=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{e=3}\end{array}\right.$
故直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵点B、C在抛物线y=-x²+bx+c上，于是得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故所求函数关系式为：y=-x²+2x+3；

（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=-x²+2x+3上，
且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，-x²+2x+3），
同理可设点N的坐标为（x，-x+3），
又点P在第一象限，
∴PN=PM-NM，
=（-x²+2x+3）-（-x+3），
=-x²+3x，
=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，
线段PN的长度的最大值为$\frac{9}{4}$．
②如图所示：由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为（a，a），
又点P在抛物线y=-x²+2x+3上，于是有a=-a²+2a+3，
∴a²-a-3=0，
解得：a₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，a₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
∴点P的坐标为：（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值问题、等腰三角形三线合一的性质，（2）中根据点B、C的坐标，OB与OC恰好相等是解题关键．