Question

20．已知x+$\frac{1}{x}$=3，求下列各式的值：
（1）x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；（2）（x-$\frac{1}{x}$）²；（3）x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$．

Answer 1

分析 （1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式化简，将已知等式与（1）结论代入计算即可求出值；
（3）原式利用立方和公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）∵x+$\frac{1}{x}$=3，
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=9-2=7；
（2）∵x+$\frac{1}{x}$=3，x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=7，
∴（x-$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2=7-2=5；
（3）∵x+$\frac{1}{x}$=3，x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=7，
∴x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）=18．

点评 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．