Question

【题目】如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在和上，下列结论：，其中正确的序号是(　　)

A.①②④B.①②C.②③④D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据正方形的性质可得∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD=BC=CD，然后等边三角形的性质可得AE=AF，∠EAF=60°，然后利用HL即可证出Rt△ABE≌Rt△ADF，从而证出BE=DF，∠BAE=∠DAF，即可判断①；先求出∠BAE，根据直角三角形的性质即可判断②；证出AE≠2BE，即可判断③；设正方形的边长为x，求出CE，最后利用勾股定理列出方程即可求出x，从而判断④．

解：∵四边形ABCD为正方形

∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD=BC=CD

∵△AEF为等边三角形

∴AE=AF，∠EAF=60°

在Rt△ABE和Rt△ADF中

∴Rt△ABE≌Rt△ADF

∴BE=DF，∠BAE=∠DAF

∴BC－BE=CD－DF

∴CE=CF，故①正确；

∴∠BAE=∠DAF=（∠BAC－∠EAF）=15°

∴∠AEB=90°－∠BAE=75°，故②正确；

在Rt△ABE中，∠BAE≠30°

∴AE≠2BE

∴EF≠BE＋DF，故③错误；

设正方形的边长为x，

∵CE=CF，∠C=90°，EF=2

∴△CEF为等腰直角三角形

∴∠CEF=45°

∴CE=

则BE=BC－CE=x－

在Rt△ABE中，AB2＋BE2=AE2

∴x2＋（x－）2=22

解得：x1=，x2=（不符合实际，舍去）

∴=，故④正确．

综上：正确的有①②④．

故选A．