Question

1．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质，可得BE的长，∠ABE=∠HBD=30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FPQ的形状，根据面积的和差，可得答案．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∠C=∠ABC=∠BAC=60°，
∠EBC=30°，
BD=EC=$\frac{1}{2}$BC=2，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BDH中，cos30°=$\frac{BD}{BH}$，
BH=$\frac{BD}{cos30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴EH=BE-BH=2$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵△EFG是等边三角形，
∴FG=EG=2$\sqrt{3}$-2，
∠FEG=∠FGE=∠F=60°，
∵∠MHE=∠BHD=60°，
∴△MEH是等边三角形，
∴S_△MEH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠QEA=180°-90°-60°=30°，
∠BAC=60°，
∴∠FQD=∠AQE=90°
∵∠F=60°，
∴∠FDQ=30°，
△BDG中，∠DBG=30°，∠FGE=60°，
∴∠BDG=30°，
∴BG=DG=2，
∴FD=FG-DG=2$\sqrt{3}$-2-2=2$\sqrt{3}$-4，
Rt△FDQ中，∠FDQ=30°，
∴FQ=$\frac{1}{2}$FD=$\sqrt{3}$-2，
cos30°=$\frac{DQ}{FD}$，
DQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$（2\sqrt{3}-4）$=$\sqrt{3}（\sqrt{3}-2）$，
∴S_△FDQ=$\frac{1}{2}$FQ•DQ=$\frac{1}{2}$×$（\sqrt{3}-2）×\sqrt{3}（\sqrt{3}-2）$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$-6，
∴S_阴影=S_△EFG-S_△FDQ-S_△MEH，
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$（2\sqrt{3}-2）^{2}$-（$\frac{7\sqrt{3}}{2}$-6）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．