Question

3．如图1，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与直线y=k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：
（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为（-3，-1）；当x满足：-3≤x＜0或x≥3时，$\frac{k}{x}$≤k′x；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．
①四边形APBQ一定是平行四边形；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．
（3）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，即可解决问题，利用图象根据正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可确定自变量x的范围．
（2）①利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
②利用分割法求面积即可．
（3）根据矩形的性质、正方形的性质即可判定．

解答 解：（1）∵A、B关于原点对称，A（3，1），
∴点B的坐标为（-3，-1）．
由图象可知，当-3≤x＜0或x≥3时，$\frac{k}{x}$≤k′x．
故答案为（-3，-1），-3≤x＜0或x≥3

（2）①∵A、B关于原点对称，P、Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ是平行四边形．
故答案为：平行四边形；     

②∵点A的坐标为（3，1），
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$，
∵点P的横坐标为1，
∴点P的纵坐标为3，
∴点P的坐标为（1，3），
由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（-1，-3），点B的坐标为（-3，-1），
如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，
则四边形CDEF是矩形，

CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，
则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积-△ACP的面积-△PDB的面积-△BEQ的面积-△AFQ的面积
=36-2-8-2-8
=16． 

（3）mn=k时，四边形APBQ是矩形，
不可能是正方形．
理由：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠POA≠90°．
因为mn=k，易知P、A关于直线y=x对称，所以PO=OA=OB=OQ，所以四边形APBQ是矩形．

点评 本题考查反比例函数综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用对称的性质解决问题，学会用分割法求面积，学会利用图象确定自变量的取值范围，属于中考压轴题．