Question

【题目】如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠BAC=2∠EBC ，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F．

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）若AB=8，BE=4，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BC=

【解析】

（1）运用切线的判定，只需要证明AB⊥BC即可，即证∠ABC=90°. 连接AF，依据直径所对圆周角为90度，可以得到∠AFB=90°，依据三线合一可以得到2∠BAF=∠BAC，再结合已知条件进行等量代换可得∠BAF=∠EBC，最后运用直角三角形两锐角互余及等量代换即可.

（2）依据三线合一可以得到BF的长度，继而算出∠BAF=∠EBC的正弦值，过E作EG⊥BC于点G，利用三角函数可以解除EG的值，依据垂直于同一直线的两直线平行，可得EG与AB平行，从而得到相似三角形，依据相似三角形的性质可以求出AC的长度，最后运用勾股定理求出BC的长度.

（1）证明：连接AF．

∵AB为直径， ∴∠AFB=90°．

又∵AE=AB，

∴2∠BAF=∠BAC，∠FAB+∠FBA=90°．

又∵∠BAC=2∠EBC，

∴∠BAF=∠EBC，

∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．

∴∠ABC=90°．即AB⊥BC，

∴BC与⊙O相切；

（2）解：过E作EG⊥BC于点G，

∵AB=AE，∠AFB=90°，

∴BF=BE=×4=2，

∴sin∠BAF=，

又∵∠BAF=∠EBC，

∴sin∠EBC=．

又∵在△EGB中，∠EGB=90°，

∴EG=BEsin∠EBC=4×=1，

∵EG⊥BC，AB⊥BC，

∴EG∥AB，

∴△CEG∽△CAB，

∴．

∴，

∴CE=，

∴AC=AE+CE=8+=．

在Rt△ABC中，

BC=