Question

【题目】已知直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，且.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在上，点在的延长线上，且，连接交于点，点为第一象限内的一点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，连接，设的长度为，的面积为，请用含的式子表示，并写出自变量的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接、，将沿翻折到的位置（与对应），若，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(0＜t＜4）；（3）K(1,-1)

【解析】

（1）利用求出点C、A的坐标及点B的坐标，即可代入求出解析式；

（2）过点D作DE⊥x轴于E，作QF⊥DE于F，设QF=m，根据△QDF≌△DPE 求出FD=4+t-m，EP=4-t+m，解出m=t ，即可根据三角形的面积公式计算得到函数解析式及t的取值范围；

（3）作PL∥OQ ，GM⊥AB于M ，KN⊥AB于N，证得 △PGL≌△QGC，得到GP=GQ，根据勾股定理求出t，再证明四边形PGDK为正方形，根据正方形的性质及△GMP≌△PNK求出AN及ON即可.

（1）解：当x=0时，y=4，∴C（0,4）

当y=0时，x=-4，∴A（-4，0）

∵OC=2OB，

∴OB=2 ，

∴B（2,0）

代入抛物线解析式得，

解得 ，

∴抛物线的解析式为；

（2）过点D作DE⊥x轴于E，作QF⊥DE于F，

∴四边形QOEF为矩形

∴QF=OE，QO=FE,

设QF=m，

∵△QDF≌△DPE ，

∴QF=DE=m ,FD=EP，

∵FD=4+t-m，EP=4-t+m，

∴4-t+m=4+t-m，

∴m=t ，

∵OP=4-t，

∴ (0＜t＜4），

（3）作PL∥OQ ，GM⊥AB于M ，KN⊥AB于N，

∵OC=OA，

∴PL=PA ，

∵PA=CQ，

∴PL=CQ，

∴△PGL≌△QGC，

∴GP=GQ，

∵OG=，

∴PQ=，

在Rt△OPQ中，得（4-t）2+(4+t)2=，

∴t=2 ，

∵△PDG为等腰直角三角形，

∴四边形PGDK为正方形，

∵OQ=6，

∴GM=3，

∵GP=GO，

∴PM=MO=1，

∵△GMP≌△PNK，

∴GM=PN=3，PM=KN=1，

∴AN=5，ON=1,

∴K(1,-1)