Question

【题目】如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．

(1)如图1，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值；

(2)如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以点A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或或或或或．

【解析】

（1）△PDF的面积S＝×PG×（xF﹣xD）＝×（+x﹣）×2＝﹣x2﹣x+，当x＝﹣时，S最大，即点P（﹣，）；GH＝GE，故PG﹣EG＝PG﹣HG＝PH为最小值，即点G为所求，即可求解；

（2）分AM是正方形的边、对角线两种情况，每个情况分四个象限逐次求解即可．

解：（1）抛物线①，

抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，

则点A、B、C的坐标为：（﹣4，0）、（1，0）、（0，2），则点D（﹣2，1），

函数的对称轴为x＝﹣，

将点B、D的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BD的表达式为：y＝﹣x+，

过点P作y轴的平行线交直线EF于点G，

设点P（x，），则点G（x，﹣x+），

△PDF的面积S＝×PG×（xF﹣xD）＝×（+x﹣）×2＝﹣x2﹣x+

当x＝﹣时，S最大，即点P（﹣，）；

过点E作x轴的平行线交PG于点H，

直线BD的表达式为：y＝﹣x+②，

则tan∠EBA＝＝tan∠HEG，

GH＝GE，故PG﹣EG＝PG﹣HG＝PH为最小值，即点G为所求，

联立①②并解得：x＝﹣，故点E（﹣，），

则PG﹣EG的最小值PH：﹣＝；

（2）①当AM是正方形的边时，

（Ⅰ）当点M在y轴左侧时（N在下方），如图2，

当点M在第二象限时，

过点A作y轴的平行线GH，过点M作MG⊥GH与点G，过点N作HN⊥GH于点H，

∵∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，∴∠HAN＝∠GMA，

∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，∴△AGM≌△NHA（AAS），

∴GA＝NH＝4﹣＝，AH＝GM，

即=，解得：x＝，

当x＝时，则GM＝x﹣（﹣4）＝，

点yN＝﹣AH＝﹣GM＝，

故点N（﹣，）；

当x＝时，同理可得：点N（﹣，﹣）；

当点M在第三象限时，

同理可得：点N；

（Ⅱ）当点M在y轴右侧时，

如图3，M在第一象限时，

过点M作MH⊥x轴于点H，

设AH＝b，MH＝a，

同理可得：△AHM≌△MGN（AAS），

则点M（﹣4+b，b﹣），即a＝b﹣，

将点M的坐标代入①式并解得：b＝，a＝（a、b均舍去负值），

yN＝a+b＝，

故点N（﹣，），

同理当点M在第四象限时，点N（﹣，-）；

②当AM是正方形的对角线时，

当点M在y轴左侧时，

过点M作MG垂直于函数对称轴于点G，设函数对称轴与x轴交于点H，

同理可得：△AHN≌△NGM（AAS），

设点N（﹣，m），则点M（﹣﹣m，+m），

将点M的坐标代入①式并解得：m＝或﹣（舍去），

故点N（﹣，）；

当点M在y轴右侧时，

同理可得：点N（﹣，﹣）．

综上，点N的坐标为：或或或或或或．