Question

3．已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD是中线，CE⊥AD交AB于点F，垂足为E，连接DF，则结论①∠BDF=∠ADC；②∠BFD=∠AFC；③CF+DF=AD．其中结论正确的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 如图1，作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，根据已知条件得到∠BCG=∠CAD，推出△ACD≌△CGB（AAS），根据全等三角形的性质得到CD=BG，∠CDA=∠CGB，推出△BFG≌△BFD，根据全等三角形的性质得到∠FGB=∠FDB，∠BFD=∠BFG，由于∠BFG=∠CFA，于是得到∠BFD=∠AFC，∠ADC=∠BDF，故①②正确；如图3，延长CF到G，使GF=DF，连接AG，证得△ADF≌△AGF，根据全等三角形的性质得到AG=AD，∠ADF=∠G，根据余角的性质得到∠ACE=∠ADC，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDF=∠CAG，等量代换得到∠ACG=∠CAG，根据等腰三角形的判定得到AG=CG，于是得到结论．

解答 解：如图1，作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，
∵CF⊥AD，∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAD=90°，
∴∠BCG=∠CAD，
在△ACD与△CGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CGB=90°}\\{∠CAD=∠BCG}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CGB（AAS），
∴CD=BG，∠CDA=∠CGB，
∵CD=BD
∴BG=BD
∵∠CBA=∠GBF=45°，
在△BFG与△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BG}\\{∠DBF=∠GBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△BFD，
∴∠FGB=∠FDB，∠BFD=∠BFG，
∵∠BFG=∠CFA，
∴∠BFD=∠AFC，∠ADC=∠BDF，故①②正确；
如图3，延长CF到G，使GF=DF，连接AG，
∵∠BFD=∠CFA，
∴∠BFC=∠AFD，
∵∠BFC=∠AFG，
∴∠AFD=∠AFG，
在△ADF与△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=GF}\\{∠DFA=∠GFA}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△AGF，
∴AG=AD，∠ADF=∠G，
∵∠ACB=90°，CE⊥AD，
∴∠ACE=∠ADC，
∴∠BDF=180°-∠ADC-∠ADF，∠CAG=180°-∠ACF-∠G，
∴∠BDF=∠CAG，
∴∠ACG=∠CAG，
∴AG=CG，
∵CG=CF+FG=CF+DF，
∴CF+DF=AD．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．