Question

8．如图，一次函数y=-$\sqrt{3}x+\sqrt{3}$的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，使∠ABC=30°；
（1）求△ABC的面积；
（2）如果点P（m，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）如果△QAB是以AB为直角边，且有一锐角为30°的直角三角形，请在第一象限中找出所有满足条件的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求得A和B的坐标，利用勾股定理即可求得AB的长，然后在直角△ABC中利用三角函数求得AC的长，则三角形的面积即可求解；
（2）根据四边形OAPB的面积等于△OAB的面积与△OBP的面积的和即可利用m表示出四边形AOPB的面积，然后表示出△APB的面积，根据△APB与△ABC面积相等，列方程求解；
（3）分成A是直角顶点和B是直角顶点两种情况讨论，第一种情况C就是所求，作CE⊥x轴于点E，在直角△ACE中利用三角函数求得AE和CE的长，则C的坐标即可求得；当B是直角顶点时，把C向上平移$\sqrt{3}$个单位长度，把C向左平移1个单位长度就是Q．

解答 解：（1）在y=-$\sqrt{3}x+\sqrt{3}$中令x=0，解得y=$\sqrt{3}$，则B的坐标是（0，$\sqrt{3}$）．
令y=0，解得x=1，则A的坐标是（1，0）．
则OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
则AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
在直角△ABC中，AC=AB•tan∠ABC=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_△OBP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×（-m）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
则四边形AOPB的面积是：$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．
S_△OAP=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
则S_△APB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．
当△APB与△ABC面积相等时，$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解得：m=-$\frac{5}{6}$；
（3）当AB是直角边，A是直角顶点时，C就是所求的点．
作CE⊥x轴于点E．
在直角△OAB中，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，则∠OAB=60°，
则∠CAE=180°-60°-90°=30°，
直角△ACE中，CE=AC•sin30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
AE=AC•cos30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1．
则OE=2，即C的坐标是（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
当B是直角顶点时，把C向上平移$\sqrt{3}$个单位长度，把C向左平移1个单位长度就是Q，则Q的坐标是（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
总之，Q的坐标是（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了三角函数、一次函数以及勾股定理的应用，注意到Q的位置分成两种情况讨论，正确求得C的坐标是关键．