Question

12．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板做横式、竖式两种长方体形状的无盖包装纸盒（拼接处忽略不计），若有长方形纸板281张，正方形纸板122张，要做横式无盖、竖式无盖纸盒共80个．若设横式无盖纸盒为x个，则竖式无盖纸盒需80-x个．

	长方形纸板张数	正方形纸板张数
x个横式无盖共需要	3x	2x
80-x个竖式无盖共需要	4	80-x

（1）把表格填写完整（用含x的代数式表示）；
（2）请你设计生产方案，要求分别指明横式无盖纸盒和竖式无盖纸盒的生产个数；
（3）已知每个横式纸盒的利润为8元，每个竖式纸盒的利润为m元（m＞0），
①请写出利润函数y关于x的函数关系式；
②若仅从销售的利润考虑，以上哪种方案的利润最大？最大利润是多少？（用含m的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由题意即可得到结论；
（2）由生产横式的无盖长方体包装盒x个，则生产竖式的无盖长方体包装盒（50-x）个，根据题意可得两个关系式为：A种纸盒使用长方形纸板的个数+B种纸盒使用长方形纸板的个数≤长方形纸板的张数，A种纸盒使用正方形纸板的个数+B种纸盒使用正方形纸板的个数≤正方形纸板的张数，把相关数值代入求正整数解即可；
（3）①设销售利润为W元，生产横式纸盒x个，根据题意可得：总利润=横式纸盒的利润×横式纸盒的个数+竖式纸盒的利润×竖式纸盒的个数，即可得到结论；②再根据函数关系式确定x的值，即可得到答案．

解答 解：（1）如表中所示；
（2）∵生产横式的无盖长方体包装盒x个，则生产竖式的无盖长方体包装盒（80-x）个．
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{3x+4（80-x）≤281}\\{2x+80-x≤122}\end{array}\right.$，
解得，39≤x≤42．
∵x是整数，
∴x₁=39，x₂=40，x₃=41，x₄=42，
答：有4种生产方案，分别是：
生产横式包装盒39个，竖式包装盒41个；
生产横式包装盒40个，竖式包装盒40个；
生产横式包装盒41个，竖式包装盒39个；
生产横式包装盒42个，竖式包装盒38个；

（3）①设销售利润为W元，生产横式纸盒x个，
则w=8x+m（80-x）=（8-m）x+80m，
②当8-m＜0，W随x 的增大而减小，
∴当x=39时，W最大，最大值为80m元；
当8-m＞0，W随x 的增大而增大，
∴当x=42时，W最大，最大值为80m元．

点评 此题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据竖式及横式数量的关系设出未知数，列出不等式组求解是解题关键．