Question

17．如图，对称轴为x=1的抛物线经过A（-1，0），B（4，5）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．
①当PQ=6时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意确定抛物线与x轴的另一个交点，然后根据待定系数法即可求得；
（2）①先求得直线AB的解析式，设P（m，m+1），Q（m，m²-2m-3），则PQ=|m+1-m²+2m+3|=6，然后分m²-3m-4=-6或m²-3m-4=6两种情况求得m的值，从而求得P点的坐标；
②由勾股定理，得PA²=（m+1）²+（m+1）²；PQ²=[m+1-（m²-2m-3）]²，AQ²=（m+1）²+（m²-2m-3）²．然后分PA=PQ、PA=AQ、AQ=AP三种情况列出关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得P点的坐标．

解答 解：（1）对称轴为x=1的抛物线经过A（-1，0），得C（3，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{16a+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
设抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）①直线AB的解析式为y=x+1，设P（m，m+1），Q（m，m²-2m-3），
PQ=|m+1-m²+2m+3|=6，
当m²-3m-4=-6，
解得m=1，m=2，
∴P（1，2）或（2，3）；
当m²-3m-4=6，解得m=-2，m=5，
∴P（-2，-1）或（5，6）；
综上所述：当PQ=6时，点P的坐标（1，2），（2，3），（-2，-1），（5，6）；
（3）∵A（-1，0），P（m，m+1），Q（m，m²-2m-3），由勾股定理，得
PA²=（m+1）²+（m+1）²；PQ²=[m+1-（m²-2m-3）]²，AQ²=（m+1）²+（m²-2m-3）²．
①当PA=PQ时，（m+1）²+（m+1）²=[m+1-（m²-2m-3）]²，化简，得（m+1）²[（m-4）²-2]=0．
于是，得（m-4）²-2=0，m+1=0．
解得m₁=4+$\sqrt{2}$，m₂=4-$\sqrt{2}$，m₃=-1，
∵当m=-1时，P点与A点重合，
∴P₁（4+$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$），P₂（4-$\sqrt{2}$，5-$\sqrt{2}$）；
②当PA=AQ时，（m+1）²+（m+1）²=（m+1）²+（m²-2m-3）²，化简，得（m+1）²（m-3-1）²=0，
于是，得（m-4）²=0，解得m₄=4，m₅=-1，
∴P₃（4，5）；
③当AQ=AP时，（m+1）²+（m²-2m-3）²=[m+1-（m²-2m-3）]²，化简，得（m+1）²[（m-4）²-2]=0．
于是，得（m²-2m-3）²=0．m+1=0，
解得m₆=3，m₇=-1，
∴P（3，4）；
综上，存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形，点P的坐标为P（4+$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$）或（4-$\sqrt{2}$，5-$\sqrt{2}$）或（4，5）或（3.4）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，线段的长度以及勾股定理的应用等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键分类讨论思想与方程思想的应用