Question

17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F．
（1）证明：BE=CF；
（2）如果AB=16，AC=10，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接BD、CD．首先证明DB=DC，DE=DF，根据HL即可证△DEB≌△DFC，由此即可解决问题．
（2）由△ADE≌△ADF，推出AE=AF，推出AB-BE=AC+CF，可得2AE=AB-AC，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接BD、CD．

∵DG⊥BC，BG=GC，
∴DB=DC，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DFC，
∴BE=CF．

（2）解：在Rt△ADE和rT△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴AB-BE=AC+CF，
∴2AE=AB-AC=16-10，
∴AE=3．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．