Question

6．几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图2，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有∠AOC=90°，OA=3，OB=4，P为∠AOC的角平分线上一动点，请求出AP+PB的最小值．
（2）①如图，∠AOC=30°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，请直接写出△PQR周长的最小值10．
②如图，∠AOB=20°，点M．N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是2．

Answer 1

分析 （1）∠AOC的平分线为OD，作AA′⊥OD交OC于A′，连接BA′交OD于P，连接PA，如图2，利用题中模型得到PA+PB最短，此时PA+PB=BA′，利用对称的性质得到OA′=OA=3，然后利用勾股定理计算出BA′即可；
（2）①作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，利用对称的性质得到△PQR周长=P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10，从而得到△PQR周长的最小值；
②作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OB于P，交OA于Q，连接PM、NQ，如图4，同样方法判断此时MP+PQ+QN的值最小，最小值为M′N′，再证明△M′ON′为等边三角形得到M′N′=OM′=2，从而得到MP+PQ+QN的最小值．

解答 解：（1）∠AOC的平分线为OD，作AA′⊥OD交OC于A′，连接BA′交OD于P，连接PA，如图2，则PA+PB最短，此时PA+PB=BA′，
∵OD平分∠AOC，AA′⊥OD，
∴OA′=OA=3，
在Rt△OBA′中，BA′=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
即AP+PB的最小值为5；
（2）①作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，
则OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，
∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，
∴此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，
∵OP=OP′，OP=OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，
∴△P′OP″为等边三角形，
∴P′P″=OP′=OP=10，
即△PQR周长的最小值为10；
②作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OB于P，交OA于Q，连接PM、NQ，如图4，
则OM=OM′=2，ON=ON′=2，PM=PM′，QN=QN′，
∴MP+PQ+QN=PM′+PQ+QN′=M′N′，
∴此时MP+PQ+QN的值最小，最小值为M′N′，
∵OM=OM′，ON=ON′，MM′⊥OB，NN′⊥OA，
∴∠M′OB=∠AOB=20°，∠N′OA=∠AOB=20°，
∴∠M′ON′=60°，
∴△M′ON′为等边三角形，
∴M′N′=OM′=2，
即MP+PQ+QN的值最小为2．
故答案为10，2．

点评 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．