Question

12．如图，直线l₁：y=x+1与直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$相交于点P（-1，0），直线l₁与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₂处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的A₁处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₂处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线l₁上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B₂₀₁₅，A₂₀₁₅，…则当动点C到达A₂₀₁₅处时，运动的总路径的长为（　　）

• A． 2²⁰¹⁵-2
• B． 2²⁰¹⁴-1
• C． 2²⁰¹⁶-2
• D． 2²⁰¹⁷-2

Answer 1

分析 由直线直线l₁：y=x+1可知，A（0，1），则B₁纵坐标为1，代入直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$中，得B₁（1，1），又A₁、B₁横坐标相等，可得A₁（1，2），则AB₁=1，A₁B₁=2-1=1，可判断△AA₁B₁为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△A₁A₂B₂、△A₂A₃B₃、…、都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l₁、l₂的解析式，分别求AB₁+A₁B₁，A₁B₂+A₂B₂的长，得出一般规律．

解答 解：由直线直线l₁：y=x+1可知，A（0，1），根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l₁、l₂的解析式可知，B₁（1，1），AB₁=1，
A₁（1，2），A₁B₁=2-1=1，AB₁+A₁B₁=2，
B₂（3，2），A₂（3，4），A₁B₂=3-1=2，A₂B₂=4-2=2，A₁B₂+A₂B₂=2+2=4=2²，
…，
由此可得A_n-1B_n+A_nB_n=2ⁿ，
所以，当动点C到达A_n处时，运动的总路径的长为2+2²+2³+..+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2，
当动点C到达A₂₀₁₅处时，运动的总路径的长为2²⁰¹⁶-2，
故选C

点评 本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律．