Question

17．如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q=90°-$\frac{1}{2}$∠A，求出∠E=$\frac{1}{2}$∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分别列出方程，求解即可．

解答 解：（1）如图①，
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠BPC=180°-（∠1+∠2）=180°-50°=130°．

（2）如图②，
∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ABC+∠ACB+∠A=180°+∠A．
∵BE，CQ分别为△ABC的外角∠MBC，∠NCB的角平分线，
∴∠CBQ+∠BCQ=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
∴∠Q=180°-（∠CBQ+∠BCQ）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（3）如图③，连结BC并延长到点F．
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=$\frac{1}{2}$∠A；
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠MBC
=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则90°-$\frac{1}{2}$∠A=∠A，解得∠A=60°；
④∠E=2∠Q，则$\frac{1}{2}$∠A=2（90°-$\frac{1}{2}$∠A），解得∠A=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．

点评 本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．