Question

12．已知点D与点A（-5，0），B（0，12），C（a，a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（　　）

• A． 13
• B． $\frac{13}{2}\sqrt{2}$
• C． $\frac{17}{2}\sqrt{2}$
• D． 12

Answer 1

分析 ①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=-5-a，得出D（（5+a，12-a），由勾股定理得：CD²=（5+a+a）²+（12-a-a）²=8（a-$\frac{7}{4}$）²+$\frac{289}{2}$，当a=$\frac{7}{4}$时，CD有最小值，是$\frac{17\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=$\sqrt{{（-5）}^{2}{+12}^{2}}$=13，
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND=∠DFA=∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中$\left\{\begin{array}{l}{∠BND=∠AMC}\\{∠DBN=∠CAM}\\{BD=AC}\end{array}\right.$
∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=a+5，
∴D（-5-a，12-a），
由勾股定理得：CD²=（5+a+a）²+（12-a-a）²=8（a-$\frac{7}{4}$）²+$\frac{289}{2}$，当a=$\frac{7}{4}$时，CD有最小值，是$\frac{17\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{17\sqrt{2}}{2}$＜13，
∴CD的最小值是$\frac{17\sqrt{2}}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．