Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F．
（1）求证：∠BAD=∠DAE；
（2）若AB=6，AD=5，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由ED为⊙O的切线，根据切线的性质得到OD⊥ED，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据平行线的判定和性质得到角之间的关系，又因为OA=OD，得到∠BAD=∠ADO，推出结论∠BAD=∠DAE；
（2）连接BD，得到∠ADB=90°，由勾股定理得到BD=$\sqrt{A{B^2}-A{D^2}}=\sqrt{11}$，根据三角函数的定义得到tan∠CBD=tan∠BAD=$\frac{{\sqrt{11}}}{5}$，由DF=BD•tan∠CBD=$\frac{11}{5}$．

解答 解：（1）连接OD，
∵ED为⊙O的切线，
∴OD⊥ED，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC∥ED，
∴∠ACB=∠E=∠EDO，
∴AE∥OD，
∴∠DAE=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠BAD=∠DAE；

（2）连接BD，
∴∠ADB=90°，
∵AB=6，AD=5，
∴BD=$\sqrt{A{B^2}-A{D^2}}=\sqrt{11}$，
∵∠BAD=∠DAE=∠CBD，
∴tan∠CBD=tan∠BAD=$\frac{{\sqrt{11}}}{5}$，
在Rt△BDF中，
∴DF=BD•tan∠CBD=$\frac{11}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是正确的作出辅助线．