Question

如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接三角形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,正方形的性质

专题：

分析：过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，根据DG∥BC，再由△ADG∽△ABC即可求出x的表达式，再代入求出三角形的面积即可．

解答：解：∵过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，
∴

1

2

BC•h=1，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，故

DG

BC

=

AM

AN

，即

x

2 h

=

h-x

h

，
∴x=

2h

h2+2

，
设正方形的面积为S，则S=x²=（

2h

h2+2

）²=（

2

h+ 2 h

）²=[

2

( h - 2 h )2+2 2

]²≤（

2

2 2

）=

1

2

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．