Question

【题目】综合与实践:(1)如图，已知：在等腰直角中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、.小明观察图形特征后猜想线段、和之间存在的数量关系，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由.

（2）如图，将(1)中的条件改为：为等边三角形，、、三点都在直线上，并且有，请问结论是否成立？并说明理由.

(3)如图，若将(1)中的三角形变形为一般的等腰三角形，中，，，其中为任意锐角或钝角，、、三点都在直线上.问：满足什么条件时，结论仍成立？直接写出条件即可.

Answer 1

【答案】（1）小明的猜想是正确的，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）当时，结论成立

【解析】

（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；

（2）利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．

（3）如图3中，结论：当∠ADB=∠BAC=∠AEC时，DE=BD+EC．证明方法类似（2）．

解：(1)小明的猜想是正确的.

理由：如图1，

直线，直线，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

；

(2)结论仍成立；

理由：如图2，

为等边三角形

、

，

在和中，

，

，，

.

(3)当时，结论DE=BD+EC仍成立.

理由：∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE．