【题目】如图,在△ABC中,∠ABC= 90°,D是边AC上的一点,AB= AD,连接BD, E是BC上的一点,以BE为直径的⊙0经过点D.
(1)求证: AC是⊙O的切线:
(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求CE长
【答案】(1)证明见解析;(2)2.
【解析】
(1)由OD=OB得∠1=∠ODB,则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1,而∠A=2∠1,所以∠DOC=∠A,由于∠A+∠C=90°,所以∠DOC+∠C=90°,则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线;
(2)由∠A=60°得到∠C=30°,∠DOC=60°,根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=2OD=4,在Rt△ABC中,根据AB=BCtan30°计算即可.
(1)连接OD,
∵OD=OB,
∴∠1=∠ODB,
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1,
而∠A=2∠1,
∴∠DOC=∠A,
∵∠A+∠C=90°,
∴∠DOC+∠C=90°,
∴OD⊥DC,
∴AC是⊙O的切线;
(2)∵∠A=60°,
∴∠C=30°,∠DOC=60°,
在Rt△DOC中,OD=2,
∴OC=2OD=4,BC=OB+OC=6,
在Rt△ABC中,AB=BCtan30°=2.
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【题目】如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形ABCD,若测得A,C之间的距离为6cm,点B,D之间的距离为8cm,则线段AB的长为( )
A.5 cmB.4.8 cmC.4.6 cmD.4 cm
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【题目】如图,直线l1:y1=-x+m与y轴交于点A(0,6),直线l2:y2=kx+1分别与x轴交于点B(-2,0),与y轴交于点C,两条直线l1、l2相交于点D,连接AB.
(1)求两直线l1、l2交点D的坐标;
(2)求△ABD的面积.
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【题目】如图,已知在RtABC中,∠C=90°,∠A=30°,在直线AC上找点P,使△ABP是等腰三角形,则∠APB的度数为_______________
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【题目】问题探究:小明根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小明的探究过程,请你解决相关问题:
在函数中,自变量x可以是任意实数;
如表y与x的几组对应值:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||
Y | 0 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | a |
______;
若,为该函数图象上不同的两点,则______;
如图,在平面直角坐标系中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,并根据描出的点,画出该函数的图象:
该函数有______填“最大值”或“最小值”;并写出这个值为______;
求出函数图象与坐标轴在第二象限内所围成的图形的面积;
观察函数的图象,写出该图象的两条性质.
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【题目】如图,已知点A1,A2,…,A2011在函数y=x2位于第二象限的图象上,点B1,B2,…,B2011在函数y=x2位于第一象限的图象上,点C1,C2,…,C2011在y轴的正半轴上,若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2,…,C2010A2011C2011B2011都是正方形,则正方形C2010A2011C2011B2011的边长为 .
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【题目】问题情境:将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC于点M,DE⊥BC于点N,试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由.
探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:
解:OM=ON,证明如下:
连接CO,则CO是AB边上中线,
∵CA=CB,∴CO是∠ACB的角平分线.(依据1)
∵OM⊥AC,ON⊥BC,∴OM=ON.(依据2)
反思交流:
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:
依据1:
依据2:
(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.
拓展延伸:
(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM、ON,试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程.
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【题目】如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.
(1)若AD=3,BE=4,求EF的长;
(2)求证:CE=EF;
(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问(2)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
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