Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列结论中正确的个数是（　　）

①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC＝60°；③AD＝BD；④点D在AB的垂直平分线上⑤S△ABD＝S△ACD

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得④正确，由AB与AC的倍数关系可得到S△ABD与S△ACD的关系.

利用基本作图得AD平分∠BAC，所以①正确；

∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠BAC＝60°，

而AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠DAB＝30°，

∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；

∵∠DAB＝∠B＝30°，

∴DA＝DB，所以③正确；

∴点D在AB的垂直平分线上，所以④正确；

∵AD＝CD，

∴BD＝CD，

∴S△ABD＝S△ACD，所以⑤错误．

故选：C．