Question

2．已知，如图?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F．
（1）连接哪些线段可以构成新的平行四边形？请说明理由；
（2）证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形DEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB-OD，OE=OF，故可得出结论；
（2）根据ASA定理得出△AOF≌△COE，由此可得出结论；
（3）连接BF，DE，EF与BD互相平分可知，当EF⊥BD时四边形BEDF是菱形，再由勾股定理去除AC的长，根据等腰直角三角形的性质可得出结论．

解答 （1）解：连接AE、CF、BF、DE，则可得到?AECF，?BEDF．
理由：∵OA=OC，OB=OD，OE=OF，
∴四边形AECF与四边形BEDF是平行四边形；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$\left\{\begin{array}{l}AO=CO\\∠FAO=∠ECO\\∠AOF=COE\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE；

（3）解：四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，
∵由（2）知△AOF≌△COE，
∴OE=OF，
∴当EF⊥BD时四边形BEDF是菱形．
在Rt△ABC中，
∵AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{5-1}$=2，
∴PA=1=AB，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=90°-45°=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF是菱形．

点评 本题考查的是几何变换综合题，涉及到平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，难度适中．