Question

7．如图，在半圆O中，AB是直径，DC与半圆O相切于点C，AD⊥DC于点D，AD交半圆O于点E．
（1）如图1，求证：∠ACD=∠ABC；
（2）若AE：AB=3：5，如图2，求证：DC=2DE；
（3）在（2）的条件下，过点E作EG⊥AB于G，交AC于F，连接DF，若OG=$\frac{7}{2}$，如图3，求△DEF的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1，连结OC，先根据切线的性质得到∠ACD+∠2=90°，再根据圆周角定理得到∠2+∠1=90°，则∠ACD=∠1，加上∠1=∠B，所以∠ACD=∠ABC；
（2）如图2，连结OC、BE，它们相交于点H，先证明四边形CDEH为矩形得到CD=EH，DE=CH，设AE=3x，则AB=4x，利用勾股定理计算出BE=4x，利用垂径定理，由OH⊥BE得到EH=BH=$\frac{1}{2}$BE=2x，则CD=EH=2x，接着在Rt△OHB中利用勾股定理计算出OH=$\frac{3}{2}$x，则CH=OC-OH=x，所以DE=x，于是可判断DC=2DE；
（3）作FP⊥AD于P，如图3，先证明Rt△AEG∽Rt△ABC，利用相似比计算出AG=$\frac{9}{5}$x，则OG=OA-AG=$\frac{7}{10}$x=$\frac{7}{2}$，解得x=5，则DE=5，AG=9，CD=10，AD=AE+DE=20，接着利用勾股定理计算出AC=10$\sqrt{5}$，BC=5$\sqrt{5}$，然后证明Rt△AFG∽Rt△ABC，利用相似比计算出FG=$\frac{9}{2}$，再证明∠DAC=∠BAC，则根据角平分线的性质得到FP=FG=$\frac{9}{2}$，最后利用三角形面积公式求解．

解答 （1）证明：如图1，连结OC，
∵DC与半圆O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠ACD+∠2=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即∠2+∠1=90°，
∴∠ACD=∠1，
而OB=OC，
∴∠1=∠B，
∴∠ACD=∠ABC；
（2）证明：如图2，连结OC、BE，它们相交于点H，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
而AD⊥DC，
∴四边形CDEH为矩形，
∴CD=EH，DE=CH，
设AE=3x，则AB=4x，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=4x，
∴OH⊥BE，
∴EH=BH=$\frac{1}{2}$BE=2x，
∴CD=EH=2x，
在Rt△OHB中，∵BH=2x，OB=$\frac{5}{2}$x，
∴OH=$\sqrt{O{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{3}{2}$x，
∴CH=OC-OH=x，
∴DE=x，
∴DC=2DE；
（3）解：作FP⊥AD于P，如图3，
∵EG⊥AB，
∴∠AGE=90°，
∵∠EAG=∠BAC，
∴Rt△AEG∽Rt△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AG}{AE}$，即$\frac{3x}{5x}$=$\frac{AG}{3x}$，解得AG=$\frac{9}{5}$x，
∴OG=OA-AG=$\frac{5}{2}$x-$\frac{9}{5}$x=$\frac{7}{10}$x，
∴$\frac{7}{10}$x=$\frac{7}{2}$，解得x=5，
∴DE=5，AG=9，CD=10，
∴AD=AE+DE=20，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
，∵∠FAG=∠BAC，
∴Rt△AFG∽Rt△ABC，
∴$\frac{FG}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，即$\frac{FG}{5\sqrt{5}}$=$\frac{9}{10\sqrt{5}}$，解得FG=$\frac{9}{2}$，
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴FP=FG=$\frac{9}{2}$，
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$FP•DE=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×5=$\frac{45}{4}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理、切线的性质和角平分线的性质定理；会利用相似比和勾股定理进行几何计算．本题的关键是合理作辅助线．