Question

9．如图，抛物线C₁：y=x²+2x-3的顶点为P，将该抛物线绕点A（a，0）（a＞0）旋转180°后得到的抛物线C₂，抛物线C₂的顶点为Q，与x轴的交点是B、C，点B在点C的右侧．若∠PQB=90°，则a=7．

Answer 1

分析 先求出抛物线C₁的顶点P的坐标及与x轴的交点坐标，再根据旋转的性质求出抛物线C₂的顶点Q的坐标和B点坐标，由于∠PQB=90°，然后根据勾股定理列方程求解．

解答 解：如图所示，
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴P（-1，-4），
∴PD=2$\sqrt{5}$，
令y=0，则x²+2x-3=0，解得：x=-3或x=1，
∴D（-3，0），
∵A（a，0），
∴AD=a+3，AB=a+3，
∵△APD≌△AQB，
∴∠AQB=∠APD=90°，BQ=PD=2$\sqrt{5}$，
∴AP²=AD²-PD²=a²+6a-11=AQ²，
在Rt△ABQ中，AQ²=AB²-BQ²，
∴4+（1+a）²=（a+3）²-（2$\sqrt{5}$）²，
解得：a=7，
故答案为：7．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，难度较大，求出旋转后的抛物线C₂的顶点坐标是解题的关键，也是本题的难点．