Question

【题目】如图，已知矩形ABCD，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F、G分别在AD，BC上，连接OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是

A.CD+DF=4B.CDDF=23

C.BC+AB=2+4D.BCAB=2

Answer 1

【答案】A

【解析】

设⊙O与BC的切点为M，如图1，连接MO并延长MO交AD于点N，可证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2，设AB=a，BC=b，AC=c，则根据切线长的性质，由图2可知=1，即c=a+b-2，根据勾股定理可求得a=，或a=（舍去），因此可求出AB=，BC=，所以BC-AB=2，BC+AB=；如图3，,设DF=x，则在Rt△ONF中，FN=3+-1-x，OF=x，ON=1+-1=，由勾股定理得x=4-，从而求得CD-DF=，CD+DF=5即可得出答案．

解：如图，

设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG=DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°，
∵∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC，
在△OMG和△GCD中，

∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
∵AB=CD，
∴BC-AB=2．
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b-c），
∴c=a+b-2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b-2）2，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又∵BC-AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，

解得：（舍去），

再设DF=x，在Rt△ONF中，

由勾股定理可得

解得

综上只有选项A错误，
故选：A．