【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形
的两边
、
分别在
轴、
轴的正半轴上，
，
.点
从点
出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向点
匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是
秒．将线段
的中点绕点按顺时针方向旋转
得点
，点随点的运动而运动，连接
、
，过点作
，交于点
．
（1）求证：
∽
；
（2）请用含的代数式表示出点的坐标；
（3）求为何值时，
的面积最大，最大为多少？
（4）在点从向运动的过程中，点与点所在的直线能否平分矩形的面积？若能，求的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
点坐标为
；（3）当
时，S最大
；（4）能，
．
【解析】
（1）根据余角的性质可得
，进一步即可证得结论；
（2）由题意得
，
，然后根据相似三角形的性质可得DQ、PQ的长，进而可得结果；
（3）先用含t的代数式表示出
的面积，再根据二次函数的性质求解即可；
（4）若点
与点所在的直线平分矩形
的面积，则直线AD必过点C，故只要根据待定系数法求出直线AD的解析式，再把点D的坐标代入即可求出相应的t的值．
（1）证明：∵四边形是矩形，
，
∴
，
，
∵
，∴
，
∴，
∴
∽
；
（2）解：由题意知：点
从点
出发，沿
轴以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，
∴，∴
，
∵∽，，
∴
，
∴
，
，
∴点坐标为；
（3）解：∵，
，∴
，
∴
，
∴当时，S最大；
（4）解：能．当直线
过点
时，点与点所在的直线平分矩形的面积．
∵，
，∴点
，
，
设直线
的解析式为：
，把A、C两点代入，得：
，解得：
，
∴直线的解析式为：
，
∵点在直线上，∴
，解得：.
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【题目】小明和小亮用三枚质地均匀的硬币做游戏，游戏规则是：同时抛掷这三枚硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下，则小明赢；出现两枚正面向下，一枚正面向上，则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由．
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【题目】将一副三角尺（在
中，
，
，在
中，
，
）如图摆放，点
为
的中点，
交
于点
，
经过点
，将
绕点顺时针方向旋转
（
），
交于点
，
交
于点
，则
的值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】如图，
为半圆
的直径，
交
于
，
为
延长线上一动点，
为
中点，
，交半径
于
，连
．下列结论：①
；②
；③
；④
为定值．其中正确结论的个数为（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】2019年重庆国际马拉松赛于3月31日在南滨公园鸣枪开跑已知A、B两补给站之间的路程为1470米，志愿者甲、乙都从A站出发支援B站．甲先出发，且在途中停留了4分钟，甲出发6分钟后，乙才从A站出发．在整个行走过程中，两人保持各自速度匀速行走，两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达B站时，甲与B站相距的路程是_____米．
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【题目】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数，否则称为合数.其中，1和0既不是质数也不是合数.数学家欧几里得在《几何原本》中对此进行过详细论述.一个较大自然数是质数还是合数通常用“N法”来判断，主要分为三个步骤：第一步，找出大于N且最接近N的平方数
;第二步，用小于
的所有质数去除N;第三步，如果这些质数都不能整除N,那么N就是质数；如果这些质数中至少有一个能整除N，那么N就是合数.如判断239是质数还是合数？第一步，
;第二步，小于 16的质数有： 2、3、5、7、11、13,用2、3、5、7、11、13 依次去除239;第三步，发现没有质数能整除239,所以239是质数.
分解质因数就是把一个合数分解成若干个质数的乘积的形式，通过分解质因数可以确定该合数的约数的个数.若
…（a, b, c…是不相等的质数，m,n,p… 是正整数），则合数N共有
…个约数.如
, 
,则8共有4 个约数；又如
,则12共有6个约数.
请用以上方法解决下列问题：
（1）请用“ N法”判断619是质数还是合数？
（2）求有18个约数的最小自然数.
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【题目】如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
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【题目】如图，已知矩形ABCD，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F、G分别在AD，BC上，连接OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是
A.CD+DF=4B.CDDF=2
3
C.BC+AB=2+4D.BCAB=2
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