Question

【题目】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数，否则称为合数.其中，1和0既不是质数也不是合数.数学家欧几里得在《几何原本》中对此进行过详细论述.一个较大自然数是质数还是合数通常用“N法”来判断，主要分为三个步骤：第一步，找出大于N且最接近N的平方数;第二步，用小于的所有质数去除N;第三步，如果这些质数都不能整除N,那么N就是质数；如果这些质数中至少有一个能整除N，那么N就是合数.如判断239是质数还是合数？第一步，;第二步，小于 16的质数有： 2、3、5、7、11、13,用2、3、5、7、11、13 依次去除239;第三步，发现没有质数能整除239,所以239是质数.

分解质因数就是把一个合数分解成若干个质数的乘积的形式，通过分解质因数可以确定该合数的约数的个数.若…（a, b, c…是不相等的质数，m,n,p… 是正整数），则合数N共有…个约数.如, ,则8共有4 个约数；又如,则12共有6个约数.

请用以上方法解决下列问题：

（1）请用“ N法”判断619是质数还是合数？

（2）求有18个约数的最小自然数.

Answer 1

【答案】(1)质数.理由见解析；（2）180.

【解析】

（1）先找出大于619且最接近619的平方数252;然后用小于25的所有质数去除619，看有没有质数能整除619，再用“N法”来判断619是质数还是合数;

（2）首先把18分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案．

解：（1），小于 25的质数有:2、3、5、7、11、13,17、19、23，用2、3、5、7、11、13、17、19、23 依次去除619，没有质数能整除619,所以619是质数.

（2）∵18=18×1=9×2=6×3=3×3×2，
∴有18个约数的较小的自然数有：
①217，
②28×3，
③25×32=278，
④22×32×5=180；
从以上可以看出只有④的乘积最小；
所以有18个约数的最小自然数是180．
故答案为180．