Question

【题目】如图1，分别是的内角的平分线，过点 作，交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）如图2，如果，且，求；

（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）当， ；当，．

【解析】

（1）先利用角平分线的性质，得 ， ，再利用外角、三角形内角和进行换算即可；

（2）延长AD，构造平行相似，得到，再按条件进行计算；

（3）利用△ABC与△ADE相似，得到 ，所以得到 或，再利用三角函数求值．

（1）如图1中

∵

∴ ,

∵AD平分

∴ ，同理得

∵ ，

∴

∴

（2）延长AD交BC于点F

∵

∴

BE平分∠ABC

∴

∴

∴

∴ ，

∵

∴

（3）∵△ABC与△ADE相似，

∴∠ABC中必有一个内角和为90°

∵∠ABC是锐角

∴

当 时

∵

∴

∵

∴ ，

∵分别是的内角的平分线

∴

∴

∵

∴

代入解得

②当 时

∵△ABC与△ADE相似

∴

∵分别是的内角的平分线

∴

∴

此时

综上所述，当， ；当，