Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC＝4，∠CBD＝30°，则AE的长为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

如图，作EH⊥AB于H，利用∠CBD的余弦可求出BD的长，利用∠ABD的余弦可求出AB的长，利用∠EBH的正弦和余弦可求出BH、HE的长，即可求出AH的长，利用勾股定理求出AE的长即可．

如图，作EH⊥AB于H，

在Rt△BDC中，BC＝4，∠CBD＝30°，

∴BD＝BC·cos30°=2，

∵BD平分∠ABC，∠CBD＝30°，

∴∠ABD=30°，∠EBH=60°，

在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝2，

∴AB＝BD·cos30°=3，

∵点E为BC中点，

∴BE＝EC＝2，

在Rt△BEH中，BH＝BE·cos∠EBH＝1，HE＝EH·sin∠EBH＝，

∴AH=AB-BH=2，

在Rt△AEH中，AE＝＝，

故选：D．