Question

1．如图，A、B、C三点在同一条直线上，△ABD、△BCE为等边三角形，（等边三角形的三边相等，三个内角都是60°）．
（1）你能发现图中有几对三角形全等，并给出证明；
（2）探究△BMN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由△ABD与△BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到△ABE与△DBC全等，进而得到∠BDN=∠BEM，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出△EMB与△CNB全等，同理△DBN≌△ABM；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△BMN为等边三角形．

解答 解：（1）△ABE≌△DBC，△DBN≌△ABM，△EMB≌△CNB三对；
∵等边△ABD和等边△BCE，∴△MBE≌△NBC
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BDN=∠BAM；∠AEB=∠DCB，
又∵∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，
即∠MBE=∠NBC=60°，
在△MBE和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DCB}\\{EB=BC}\\{∠MBE=∠NBC}\end{array}\right.$，
∴△MBE≌△NBC，
在△MBA和△NBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBN=∠ABM}\\{AB=DB}\\{∠BAM=∠BDN}\end{array}\right.$，
∴△MBE≌△NBC；

（2）由（1）证得△MBE≌△NBC
∴BM=BN，∠MBE=60°，
∴△BMN为等边三角形．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．同时做第二问时注意利用第一问已证的结论．