Question

13．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A，且OA=2，∠AOC=30°，AC⊥x轴于点C
（1）试确定此反比例函数的表达式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕点O顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（m，$\sqrt{3}$m+6）也在此反比例函数上的图象上，（其中m＜0），过点P作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是$\frac{1}{2}$，设Q点的纵坐标为n，求n²-2$\sqrt{3}$n+9的值．

Answer 1

分析 （1）由于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（-$\sqrt{3}$，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；
（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；
（3）把点P（m，$\sqrt{3}$m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是$\frac{1}{2}$，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n²-2$\sqrt{3}$n+9的值．

解答 解：（1）∵OA=2，∠AOC=30°，AC⊥x轴于点C，
∴AC=$\frac{1}{2}$OA=1，OC=OA•cos30°=$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，1）．
由题意得1=$\frac{k}{-\sqrt{3}}$，解得k=-$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．
在Rt△AOC中，OC=$\sqrt{3}$，AC=1，
∴OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=2，∠AOC=30°，
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOC=60°．
过点B作x轴的垂线交x轴于点D．
在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=$\sqrt{3}$，OD=$\frac{1}{2}$OB=1，
∴B点坐标为（-1，$\sqrt{3}$），
将x=-1代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，得y=$\sqrt{3}$，
∴点B（-1，$\sqrt{3}$）在反比例函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上．

（3）由y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$得xy=-$\sqrt{3}$，
∵点P（m，$\sqrt{3}$m+6）在反比例函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，其中m＜0，
∴m（$\sqrt{3}$m+6）=-$\sqrt{3}$，
∴m²+2$\sqrt{3}$m+1=0，
∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．
∵△OQM的面积是$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OM•QM=$\frac{1}{2}$，
∵m＜0，∴mn=-1，
∴m²n²+2$\sqrt{3}$mn²+n²=0，
∴n²-2$\sqrt{3}$n=-1，
∴n²-2$\sqrt{3}$n+9=8．

点评 本题综合考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，旋转的性质，三角函数的定义，求代数式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出n的具体值，而是将mn=-1作为一个整体代入，有一定的技巧性，使计算简便．