Question

19．提出问题：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？

问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：
第一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成7个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．
探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成（2m+1）个互不重叠的小三角形．
探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成（2m+2）个互不重叠的小三角形．
问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成（2m+n-2）个互不重叠的小三角形．
实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）

Answer 1

分析 探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可；
探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可；
探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解；
问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解；
实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解．

解答 解：探究三：分割示意图不唯一，如下图所示：

可把△ABC分割成7个互不重叠的小三角形，
故答案为：7；

探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1-1），
三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2-1），
三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3-1），
…，
所以，三角形内部有m个点时，3+2（m-1）=2m+1，
故答案为：（2m+1）；

探究拓展：

四边形的4个顶点和它内部的m个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m-1）=2m+2，
故答案为：（2m+2）；

问题解决：n+2（m-1）=2m+n-2，
故答案为：（2m+n-2）；

实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得
2m+n-2，
=2×2012+8-2，
=4024+8-2，
=4030．

点评 本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．