Question

11．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F在边AD上运动，且AE=DF．CF交BD于G，BE交AG于H．
（1）求证：∠DAG=∠ABE；
（2）①求证：点H总在以AB为直径的圆弧上；
    ②画出点H所在的圆弧，并说明这个圆弧的两个端点字母；
（3）直接写出线段DH长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAG=∠DCG，利用“边角边”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DCF=∠ABE，从而证得∠DAG=∠ABE；
（2）①根据全等三角形对应角相等可得∠DCF=∠ABE，从而证得∠DAG=∠ABE，然后求出∠AHB=90°，再根据圆周角定理即可证得；
②以AB的中点O为圆心，OA长为半径画弧，交BD于I；
（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH=$\frac{1}{2}$AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．

解答 （1）证明：如图1，在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDA=90°}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG=45°}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠DAG=∠ABE；
（2）①如图1，∵∠DAG=∠ABE，∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
∴BE⊥AG，
∴点H总在以AB为直径的圆弧上；
②如图2，以AB的中点O为圆心，OA长为半径画弧，交BD于I（I是BD的中点），弧的两个端点为A和I．
（3）如图3，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=$\frac{1}{2}$AB=2cm，
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值=OD-OH=2$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．