Question

1．如图，△ABC为正三角形，D、E分别是AC、BC上的动点，当∠BDE=60°时，
（1）证明：△DEC∽△BDA；
（2）设△ABC的边长为6，DC=x．BE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当D点在何处时，BE最短，此时△BDE的面积是多少？

Answer 1

分析 （1）由△ABC为正三角形，推出∠A=∠C，∠3+∠1=120°，再由∠BDE=60°，推出∠3+∠2=120°，求得∠1=∠2，即可推出△DEC∽△BDA；
（2）由相似三角形的性质推出比例式$\frac{CD}{AB}$=$\frac{EC}{AD}$，然后根据图形推出AD=AC-CD，EC=BC-BE，根据正三角形的边长为6，并设DC=x，BE=y，即可推出$\frac{x}{6}$=$\frac{6-y}{6-x}$，通过整理得x与y的函数关系式：y=$\frac{1}{6}$x²-x+6；
（3）利用（2）中的函数关系式求得当BE最短时（即y取最小值时）所对应的x的值，由此可以确定点D的位置，然后由三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方求得△ABD和△CDE的面积，结合图形易得△BDE的面积．

解答 （1）证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=60°，
∴∠3+∠1=120°，
∵∠BDE=60°，
∴∠3+∠2=120°，
∴∠1=∠2，
∴△DEC∽△BDA，

（2）解：∵正△ABC的边长为6，
∴AB=BC=AC=6，
∵△DEC∽△BDA，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{EC}{AD}$，
∵AD=AC-CD，EC=BC-BE，
设CD=x，BE=y，
∴$\frac{x}{6}$=$\frac{6-y}{6-x}$，
整理得：y=$\frac{1}{6}$x²-x+6．

（3）∵由（2）知，y=$\frac{1}{6}$x²-x+6，则y=$\frac{1}{6}$x²-x+6=$\frac{1}{6}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
∴当x=3即D为AC中点时，BE最短为$\frac{9}{2}$，此时∠3=90°，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
又由（1）知，△DEC∽△BDA，
∴相似三角形△DEC与△BDA的相似比为：$\frac{1}{2}$．
∴S_△DEC=$\frac{1}{4}$S_△BDA=$\frac{1}{8}$S_△ABC，
∴S_△BDE=$\frac{3}{8}$S_△ABC=$\frac{3}{8}$×$\frac{1}{2}$×6×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题综合考查等边三角形的性质，平角的定义，相似三角形的判定与性质，关键在于通过对应角相等推出相关的三角形相似，正确地求出关于x与y的比例式，认真地进行计算．