Question

10．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM=CN=5，CM，DN交于点O．则下列结论：
①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③sin∠OCD=$\frac{12}{13}$；④S_△ODC=S_{四边形BMON}中，
正确的有①③④（填写序号）

Answer 1

分析 根据正方形的性质得出BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，然后根据SAS证得△BMC≌△CND，得出∠MCB=∠NDC．进而即可证得∠DOC=90°，即DN⊥MC；根据勾股定理求得DN，然后根据$\frac{1}{2}$NC•CD=$\frac{1}{2}$ND•OC，求得OC=$\frac{60}{13}$，OM=13-$\frac{60}{13}$=$\frac{109}{13}$，则OC≠OM，因为∠DNC+∠NDC=90°，∠ODC+∠OCD=90°，得出∠OCD=∠DNC，所以sin∠OCD=sin∠DNC=$\frac{CD}{DN}$=$\frac{12}{13}$；由△BMC≌△CND，得出S_△BMC=S_△CND，求得S_△BMC-S_△CNC=S_△CND-S_△CNC，即S_{四边形BMON}=S_△ODC．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
在△BMC和△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ABC=∠BCD}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△BMC≌△CND，
∴∠MCB=∠NDC．
又∠MCN+∠MCD=90°，
∴∠MCD+∠NDC=90°，
∴∠DOC=90°，
∴DN⊥MC，故①正确；
在Rt△CDN中，∵CD=12，CN=5，
∴DN=$\sqrt{{CD}^{2}+C{N}^{2}}$=13．
又∵∠BCD=90°，∠COD=90°
∴$\frac{1}{2}$NC•CD=$\frac{1}{2}$ND•OC，
∴OC=$\frac{60}{13}$，OM=13-$\frac{60}{13}$=$\frac{109}{13}$，
∴OC≠OM，故②错误；
∵∠DNC+∠NDC=90°，∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠DNC，
∴sin∠OCD=sin∠DNC=$\frac{CD}{DN}$=$\frac{12}{13}$，故③正确；
∵△BMC≌△CND，
∴S_△BMC=S_△CND
S_△BMC-S_△CNC=S_△CND-S_△CNC，即S_{四边形BMON}=S_△ODC，故④正确．
综上，正确的结论是①③④．
故答案为①③④．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形以及三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．