Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于点E，点F是AC上一点，∠FDC=∠CAB．
（1）求证：CF=BE；
（2）若ED、AC的延长线交于点G，FG=8，CD=3，求AB的长．

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠DEB=90°．
∴∠EDB+∠B=90°，∠FCD=∠BED．
∵∠CAB+∠B=90°，
∴∠EDB=∠BAC．
∵∠FDC=∠CAB，
∴∠EDB=∠FDC．
∵在△FCD和△BED中，
，
∴△FCD≌△BED（SAS），
∴FC=BE；

（2）∵在△GCD和△BED中，
，
∴△GCD≌△BED（ASA），
∴GD=BD，CG=BE，
∴GC=FC=FG=4，
∴BE=4
∵CD=3，
∴DE=3．
在Rt△GDC中，由勾股定理，得
GD=5，
∴BD=5，
∴BC=8．
∵∠B=∠B，∠BDE=∠BAC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴，
∴AB=10．
答：AB的长是10．
分析：（1）根据条件，AD平分∠BAC，DE⊥AB可以得出CD=DE，∠BDE=∠CDF，可以得出△FCD≌△BED，从而得出结论；
（2）根据条件可以得出∠FDC=∠GDC，进而得出∠FDC=∠GDC，得出△FDC≌△GDC，得出FC=GC，由条件可以求出CG的值，根据勾股定理可以求出GD的值，进而得出BD的值，再由△BED∽△BCA，由其性质就可以求出AB的值．
点评：本题考查了角平分线的性质的运用，三角形全等的判定及性质的运用，勾股定理的运用及相似三角形的判定及性质的运用，解答第一问时证明三角形全等是关键，第二问时证明三角形相似是求值的关键．