【题目】如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC.
(1)求证:四边形BDEF是平行四边形;
(2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系?证明你所得到的结论.
【答案】(1)见解析;(2)BF=(AB﹣AG)=(AB﹣AC).见解析
【解析】
试题分析:(1)证明△AGE≌△ACE,根据全等三角形的性质可得到GE=EC,再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB,再加上条件EF∥BC可证出结论;
(2)先证明BF=DE=BG,再证明AG=AC,可得到BF=(AB﹣AG)=(AB﹣AC).
(1)证明:延长CE交AB于点G,
∵AE⊥CE,
∴∠AEG=∠AEC=90°,
在△AEG和△AEC中,
∴△AGE≌△ACE(ASA).
∴GE=EC.
∵BD=CD,
∴DE为△CGB的中位线,
∴DE∥AB.
∵EF∥BC,
∴四边形BDEF是平行四边形.
(2)解:BF=(AB﹣AC).
理由如下:
∵四边形BDEF是平行四边形,
∴BF=DE.
∵D、E分别是BC、GC的中点,
∴BF=DE=BG.
∵△AGE≌△ACE,
∴AG=AC,
∴BF=(AB﹣AG)=(AB﹣AC).
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【题目】亚投行候任行长金立群12月1日在北京表示,亚投行将在12月底前正式成立,计划在2016年第二季度开始试营,计划总投入1000亿美元,中国计划投入500亿美元,折合人民币约3241亿元,将3241亿元用科学记数法表示为( )元.
A.3.241×103
B.0.3241×104
C.3.241×1011
D.3.241×1012
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【题目】已知关于x的方程
(1)求证:不论k取什么实数值,这个方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC的一边长为,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
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【题目】据科学家估计,地球年龄大约是4 600 000 000年,这个数用科学记数法表示为( )
A.4.6×108
B.46×108
C.4.6×109
D.0.46×1010
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C,给出如下定义:如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C的覆盖矩形.点A,B,C的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A,B,C的最优覆盖矩形.例如,下图中的矩形A1B1C1D1,A2B2C2D2,AB3C3D3都是点A,B,C的覆盖矩形,其中矩形AB3C3D3是点A,B,C的最优覆盖矩形.
(1)已知A(2,3),B(5,0),C(, 2).
①当时,点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为 ;
②若点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为40,则t的值为 ;
(2)已知点D(1,1),点E(, ),其中点E是函数的图像上一点,⊙P是点O,D,E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆,求出⊙P的半径r的取值范围.
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
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