Question

8．小明通过观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，要求尺规作图线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明算出OC的值和tan∠AOD是多少？

Answer 1

分析 （1）利用基本尺规作图的一般步骤画出相等CD；
（2）连接AC、DB、AD，根据勾股定理求出AE，根据相似三角形的性质求出OD、OF，根据正切的定义计算即可．

解答 解：（1）如图1所示：
线段CD即为所求；
（2）如图2所示：连接AC、DB、AD．
∵AD=DE=2，
∴AE=2$\sqrt{2}$．
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=$\sqrt{2}$，
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO，
∴CO：DO=2：3．
∴CO=$\frac{2}{5}$CD=$\frac{2}{5}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
∴DO=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．
∴OF=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$．
tan∠AOD=$\frac{AF}{OF}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{5}}$=5．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、基本尺规作图、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．