【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+4;M(1,5);(2)2<m<4;(3)P1(),P2(),P3(3,1),P4(﹣3,7).
【解析】
试题分析:(1)将点A、点C的坐标代入函数解析式,即可求出b、c的值,通过配方法得到点M的坐标;(2)点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的,可先求出直线AC的解析式,将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值,即可得到m的取值范围;(3)由题意分析可得∠MCP=90°,则若△PCM与△BCD相似,则要进行分类讨论,分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种,然后利用边的对应比值求出点坐标.
试题解析:(1)把点A(3,1),点C(0,4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得,
解得 ∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4, 配方得y=﹣(x﹣1)2+5,
∴点M的坐标为(1,5);
(2)设直线AC解析式为y=kx+b,把点A(3,1),C(0,4)代入得, 解得:
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4,如图所示,对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F
把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3,则点E坐标为(1,3),点F坐标为(1,1)
∴1<5﹣m<3,解得2<m<4;
(3)连接MC,作MG⊥y轴并延长交AC于点N,则点G坐标为(0,5) ∵MG=1,GC=5﹣4=1
∴MC==, 把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1,则点N坐标为(﹣1,5),
∵NG=GC,GM=GC, ∴∠NCG=∠GCM=45°, ∴∠NCM=90°,
由此可知,若点P在AC上,则∠MCP=90°,则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC,则有
∵BD=1,CD=3, ∴CP===, ∵CD=DA=3, ∴∠DCA=45°,
若点P在y轴右侧,作PH⊥y轴, ∵∠PCH=45°,CP= ∴PH==
把x=代入y=﹣x+4,解得y=, ∴P1();
同理可得,若点P在y轴左侧,则把x=﹣代入y=﹣x+4,解得y= ∴P2();
②若有△PCM∽△CDB,则有 ∴CP==3 ∴PH=3÷=3,
若点P在y轴右侧,把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;
若点P在y轴左侧,把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7
∴P3(3,1);P4(﹣3,7).
∴所有符合题意得点P坐标有4个,分别为P1(),P2(),P3(3,1),P4(﹣3,7).
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【题目】今年5月,某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估,将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级,绘制了如图尚不完整的统计图表.
评估成绩n(分) | 评定等级 | 频数 |
90≤n≤100 | A | 2 |
80≤n<90 | B | |
70≤n<80 | C | 15 |
n<70 | D | 6 |
根据以上信息解答下列问题:
(1)求m的值;
(2)在扇形统计图中,求B等级所在扇形的圆心角的大小;(结果用度、分、秒表示)
(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验,求其中至少有一家是A等级的概率.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. 三角形三条高所在的直线交于一点
B. 有且只有一条直线与已知直线平行
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
D. 从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到这条直线的距离
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】定义:若点P(a,b)在函数y=的图象上,将以a为二次项系数,b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”.例如:点(2, )在函数y=的图象上,则函数y=2x2+ 称为函数y=的一个“派生函数”.现给出以下两个命题:
(1)存在函数y=的一个“派生函数”,其图象的对称轴在y轴的右侧
(2)函数y=的所有“派生函数”的图象都经过同一点,下列判断正确的是( )
A. 命题(1)与命题(2)都是真命题
B. 命题(1)与命题(2)都是假命题
C. 命题(1)是假命题,命题(2)是真命题
D. 命题(1)是真命题,命题(2)是假命题
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【题目】随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进,拥有的养老床位不断增加.
(1)该市的养老床位数从年底的万个增长到年底的万个,求该市这两年(从年底到年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心,其中规划建造三类养老专用房间共间,这三类养老专用房间分别为单人间(个养老床位),双人间(个养老床位),三人间(个养老床位),因实际需要,单人间房间数在至之间(包括和),且双人间的房间数是单人间的倍,设规划建造单人间的房间数为.
①若该养老中心建成后可提供养老床位个,求的值;
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个?最少提供养老床位多少个?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(﹣2,0)、B两点,与y轴交于C点,其对称轴为直线x=1.
(1)直接写出抛物线的解析式: ;
(2)把线段AC沿x轴向右平移,设平移后A、C的对应点分别为A′、C′,当C′落在抛物线上时,求A′、C′的坐标;
(3)除(2)中的点A′、C′外,在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F,使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
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