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【题目】如图,已知二次函数y=x2+bx+cb,c为常数的图象经过点A3,1,点C0,4,顶点为点M,过点A作ABx轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.

1求该二次函数的解析式及点M的坐标;

2若将该二次函数图象向下平移mm>0个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部不包括ABC的边界,求m的取值范围;

3点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与BCD相似,请直接写出所有点P的坐标直接写出结果,不必写解答过程

【答案】1y=x2+2x+4;M1,522<m<4;3P1,P2,P33,1,P43,7

【解析】

试题分析:1将点A、点C的坐标代入函数解析式,即可求出b、c的值,通过配方法得到点M的坐标;2点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的,可先求出直线AC的解析式,将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值,即可得到m的取值范围;3由题意分析可得MCP=90°,则若PCM与BCD相似,则要进行分类讨论,分成PCM∽△BDC或PCM∽△CDB两种,然后利用边的对应比值求出点坐标.

试题解析:1把点A3,1,点C0,4代入二次函数y=x2+bx+c得,

解得 二次函数解析式为y=x2+2x+4, 配方得y=x12+5,

点M的坐标为1,5

2设直线AC解析式为y=kx+b,把点A3,1,C0,4代入得, 解得:

直线AC的解析式为y=x+4,如图所示,对称轴直线x=1与ABC两边分别交于点E、点F

把x=1代入直线AC解析式y=x+4解得y=3,则点E坐标为1,3,点F坐标为1,1

1<5m<3,解得2<m<4;

3连接MC,作MGy轴并延长交AC于点N,则点G坐标为0,5 MG=1,GC=54=1

MC== 把y=5代入y=x+4解得x=1,则点N坐标为1,5

NG=GC,GM=GC, ∴∠NCG=GCM=45° ∴∠NCM=90°

由此可知,若点P在AC上,则MCP=90°,则点D与点C必为相似三角形对应点

若有PCM∽△BDC,则有

BD=1,CD=3, CP=== CD=DA=3, ∴∠DCA=45°

若点P在y轴右侧,作PHy轴, ∵∠PCH=45°,CP= PH==

把x=代入y=x+4,解得y= P1

同理可得,若点P在y轴左侧,则把x=代入y=x+4,解得y= P2

若有PCM∽△CDB,则有 CP==3 PH=3÷=3,

若点P在y轴右侧,把x=3代入y=x+4,解得y=1;

若点P在y轴左侧,把x=3代入y=x+4,解得y=7

P33,1;P43,7

所有符合题意得点P坐标有4个,分别为P1,P2,P33,1,P43,7

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评估成绩n(分

评定等级

频数

90≤n≤100

A

2

80≤n<90

B

70≤n<80

C

15

n<70

D

6

根据以上信息解答下列问题:

(1求m的值;

(2在扇形统计图中,求B等级所在扇形的圆心角的大小;(结果用度、分、秒表示

(3从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验,求其中至少有一家是A等级的概率.

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2)函数y=的所有派生函数的图象都经过同一点,下列判断正确的是(  )

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B. 命题(1)与命题(2)都是假命题

C. 命题(1)是假命题,命题(2)是真命题

D. 命题(1)是真命题,命题(2)是假命题

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